暇つぶしに
数学（？）に挑戦しよう！

曲尺（さしがね）利用に潜む数学！ part２の解答

問題１
円の直径から円周の長さを知る方法を考えてみましょう。どんな目盛を刻めばいいのでしょうか？
　解答：直径を「円周率分の１で刻まれた目盛」（丸目という）を使って測ればよい。丸目で測った値は直径の円周率倍（直径×円周率）となっているので，その値が円周の長さになる。

　

問題２
曲尺を使って，掛け算ができるそうです。どのようにすればいいのでしょうか？
　解答； 2.5×3 を例に説明します。（三角形の相似を利用）
  1. 直線上に，AB＝2.5ｃｍをとる
  2. BC＝1ｃｍ，BQ＝3ｃｍをとり，線分ACを引く
  3. 点Qを通り，線分ACと平行な直線を引き，ABの延長線との交点をＰとする
  4. 線分ＰBの長さ（7.5ｃｍ）が求める値（7.5）
2.5×3
理由：
　PQとACが平行だから　△PBQと△ABCは相似となり，対応する線分の比が等しいので
　ＰＢ：ＡＢ＝ＱＢ：ＣＢ　よって　ｘ：2.5＝3：1　だから　外項の積と内項の積が等しいから
　ｘ＝2.5×3　となって　ＰＢ（ｘ）の長さを測れば　積（2.5×3）が解る。

　

問題３
問題２の応用ですが，割り算はどうすればいいのでしょうか？
解答：（割り算は掛け算の逆）
　　　例えば，１０÷2.5 を考える
  1. ＰＢ＝10ｃｍ，AB＝2.5ｃｍとする線分を引く
  2. BC＝1ｃｍとし，上方向に直線を延長しておく
  3. 点Ｐを通り，線分ACと平行な直線を引き，BＣの延長線との交点をＱとする
  4. 線分BＱの長さ（4ｃｍ）が求める値（4）
１０÷2.5 を考える

　

問題４
正方形の板から，正八角形の板を造るにはどのようにすればいいでしょうか？
解答：
　正方形ＡＢＣＤの一辺の長さを１０ｃｍとするとき，ＡＤ上の正八角形の頂点Ｋ，Ｌを見つけるには
　ＡＬ，ＤＫの長さを，実際のルート２倍の目盛（曲尺の角目）で，５（実際は５のルート２倍の長さ）の点を，それぞれＬ，Ｋとする。
　他の辺においても同様にＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，を見つける。
　この８点が正八角形の頂点となる。		 正八角形の板を造る
理由：
　上図のように，一辺の長さが１０ｃｍの正方形において△ＡＥＫは直角二等辺三角形だから　ＡＫ：ＫＬ：ＬＤ＝1：ルート２：1よって　ＡＬ＝１０×（1＋ルート2）÷（2＋ルート２）＝５×ルート２
　すなわち，ＡＬやＫＤは５ｃｍ（正方形の１辺の半分）のルート２倍の長さとなるので，
　正方形の一辺の半分の長さを角目で測ることによって，正八角形の各頂点を求めることができる。
　
問題５
横４0ｃｍ，縦１0ｃｍの板を横に３等分するにはどうすればいいでしょうか？
解答：
1. ＤＣの延長上にＡＥ＝45ｃｍとなる点Ｅをとる。
2. ＡＰ＝15ｃｍ，ＡＱ＝30ｃｍとするＰ，Ｑをとる。
3. ＡＢとＤＣの延長上にFG=45cmとなるFとGをとり，ＦＲ＝15ｃｍ，ＦＳ＝30ｃｍとする点Ｒ，Ｓをとる。
4. ＰＲとＱＳの延長線で切断すればよい。
板を３等分する
理由：
　三角形の相似や平行線と線分の比を使って説明できる。Ｒ，Ｓは求めなくてもＰ，Ｑだけでも可能だが，ＡＢと平行な直線がより簡単に引ける。
　これを応用すれば，曲尺の裏目（表目の1.41421356・・・倍）の目盛だって簡単に引くける。
　

　曲尺は計算尺にもなったんです。今日ならまさに電卓ですね。デジタルの電卓より，アナログの曲尺のほうが，材木等を直接測る事ができて，作業もスムーズに運び，実用的だったかとも思います。大工さんたちの知恵には感心するばかりです。

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