暇つぶしに
数学（？）に挑戦しよう！

１．「ロイヤル・フラッシュ」

　ロイヤル・フラッシュとは，同じカードの種類（クラブ，スペード，ダイヤ，ハート）のエース，キング，クイーン，ジャック，10の組み合わせだから４種類で出来ます。確率を求めるには，トランプ52枚の中から５枚を取るから　₅₂Ｃ₅ ＝2598960通りで，ロイヤル・フラッシュは４種類できるので，

　　4／2598960≒１／650000

　「65万分の1」と言われても，解り難いので，例を挙げます。
　カジノで有名なラスベガスのプロのポーカープレイヤーは，毎日ポーカーをするとして，１年間におよそ５万手を使うそうです。プロならば13年に1回は出せるかもしれないけど，暇な時ぐらいにしかしない私たちが偶然にも出せたなら，すばらしい運の持ち主だといえるでしょう。
　

２．「ストレート・フラッシュ」

　同じ種類のカードが順に並んでいる組み合わせです。ただし，ロイヤル・フラッシュは別とします。ストレートというのは1以上から始まって13以下で終わるもので，13から1へとは続けてはいけません。
　ストレート・フラッシュは，１，2，3，･･････，9 から始まって順に続くもので，４種類のカードがあるから，36通り出来ます。

　　36／2598960≒１／70000

　だから，プロでも1年間に，5万手なのだから1年間に1度出せればラッキーです。
　

３．「フォー･カード」

　ここからは，手にする確率が高くなります。フォーカードとは，同じ数のカードが４枚そろった組み合わせです。（例）エース4枚と他のカード１枚という形があります。カードには，13の数の段階があります。それと，他のカード1枚というのは，52枚からフォーカード分を引くので48通り，よって求める確率は

　　13×48／2598960＝624／2598960≒１／4000　となります。
　

４．「フル・ハウス」

　フルハウスはスリーカードとワンペアが組み合わさっている形です。上の図は，2のスリーカードと1のワンペアの形です。2が3枚と1が2枚だから， ₄Ｃ₃ × ₄Ｃ₂ ＝24　という数が求められます。したがって「1と2」でできるフルハウスの数は48通り（2が2枚と1が3枚の場合もあるので)で，数の大きさが違う２つを選ぶ組み合わせは ₁₃Ｃ₂ だから　確率は

　　48 ×₁₃Ｃ₂ ／2598960＝3744／2598960≒１／700　です。
　

５．「フラッシュ」

　５枚のカードが全部同じ種類の組み合わせ。ただし，ロイヤルフラッシュとストレートフラッシュの場合は除きます｡スペードのフラッシュの数は，13枚の中から５枚を取る組み合わせだから ₁₃Ｃ₅ となる｡(この場合ロイヤルフラッシュも，ストレートフラッシュも含まれており，後でこの分を引きます)　よって，フラッシュの数は　₁₃Ｃ₅ を４倍して，ロイヤルフラッシュとストレートフラッシュの数を引きます｡よって確率は

　　（4×₁₃Ｃ₅ －40）／2598960＝5108／2598960≒1／500

　また，組み合わせを使わなくても求められます。１枚目にスペードを撮る確率は13/52で，2枚目もスペードである確率は12/51だから，5枚のスペードを手にする確率は
（13／52）×（12／51）×（11／50）×（10／49）×（9／48）でも，求められます。
　よって，この値を４倍して，ロイヤルフラッシュとストレートフラッシュの確率を引いても，フラッシュの確率になります。
　

６．「ストレート」

　種類に関係なく，５枚のカードが順に続いている組み合わせ，ストレートフラッシュとロイヤルフラッシュの場合を除きます。例えば，２で始まるストレートは４種類の２と，４種類の３，４種類の４などがあるから，２で始まるストレートは４の５乗個出来ます。これにはストレートフラッシュとロイヤルフラッシュが含まれているので後で除きます。よって，４の５乗を１０倍（１～１０で始まる場合があるから）し，この数からストレートフラッシュとロイヤルフラッシュを引きます。

　　（4⁵×10－40）／2598960＝10200／2598960≒１／250　となります。

　ポーカーを始めたばかりの人はフラッシュよりもストレートが難しいと思うかもしれませんが，実際は計算通り，フラッシュのほうが２倍も難しいのです。
　

７．「スリーカード」

　同じ数のカードが３枚ある組み合わせです。はじめに２が３枚というパターンを計算します。２を３枚取るのは ₄Ｃ₃ 通りあり，他の２枚の場合は ₄₈Ｃ₂ 通りある。カードには１３の大きさがあり，フルハウスの場合を引かねばならないから，

　　（₄Ｃ₃×₄₈Ｃ₂×13－3744）／2598960＝54912／2598960≒１／47　となります。
　

８．「ツー・ペア」

　同じ数のカード２枚が二組ある組み合わせ。２が２枚と３が２枚というパターンを計算する。２が２枚という組み合わせは， ₄C₂ 通りで，3についても ₄C₂ 通りで，残りの５枚目のカードは２と３以外の４４通りである。カードには１３の大きさがあり，これから２つを取る組み合わせは ₁₃C₂ だから

　　₁₃C₂×₄C₂×₄C₂×44／2598960＝123552／2598960≒1／21　となります。
　

９．「ワン・ペア」

　同じ数のカード２枚ある組み合わせ。はじめの２枚が２が２枚となる組み合わせは ₄C₂ 通り，３枚目が２以外となるのが４８通り，４枚目のカードは４４通り，５枚目のカードは４０通りである。３枚目以降のカードの順序は無視していいので，３！で割らなければいけない。なお，カードには１３の大きさがあるから最後に１３倍する。

　　₄C₂×48×44×40／3！×13／2598960＝1098240／2598960≒1／2.4　となります。
　

１０．「ノ－ペア」

　これはよくある手です。この確率を求めるには，今までの１～９までの確率の和を求めて，1からその和を引けばいいのです。この手が出来てしまったら，負けと思った方がいいでしょう。なぜなら，ワンペアの確率も非常に高いからです。